登录  
 加关注
查看详情
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

青山妩媚

新的一年,新的心情,新的挑战,新的起点...

 
 
 

日志

 
 

常用微积分公式  

2008-04-08 11:01:22|  分类: 百科常識 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

§5.3 基本积分公式

  重点与难点提示

  基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式.

  因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.

  (1) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚                 ( 5.6 )

  (2) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚       ( 5.7 )

(3) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚                       ( 5.8 )

(4) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚      ( 5.9 )

(5) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚                        ( 5.10 )

(6) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚                  ( 5.11 )

(7) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚                    ( 5.12 )

(8) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚                  ( 5.13 )

(9) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚                    ( 5.14 )

(10) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚            ( 5.15 )

 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚          

(11) 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚                 ( 5.16 )

常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

  对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.

  公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚.

  公式(2)、(3)为幂函数 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 的积分,应分为常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 .

  当 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 时, 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

  积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次.

  特别当 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 时,有 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 .

  当 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 时,常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

  公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 ,故 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 )式右边的 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 是在分母,不在分子,应记清.

  当 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 时,有 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 .

  常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变.

  应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.

  公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

  公式(10)是一个关于无理函数的积分

    常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

  公式(11)是一个关于有理函数的积分

    常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

  下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.

  例1 求不定积分 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 .

  分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式.

  解:常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

   常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚     (常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚为任意常数 )

  例2 求不定积分 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 .

  分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

  解:由于 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 ,所以

   常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

              常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚    (常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚为任意常数 )

  例3 求不定积分 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 .

  分析:将 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式.

  解:常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚         

常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

                    (常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚为任意常数 )

 例4 求不定积分 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 .

  分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.

  解: 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

                常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

                 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚   (常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚为任意常数 )

  例5 求不定积分 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 .

  分析:基本积分公式表中只有 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

    但我们知道有三角恒等式: 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

  解: 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

               常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

                (常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚为任意常数 )

  同理我们有:

     常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

           常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚为任意常数 )

  例6 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚 常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

                 (常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚为任意常数 )

 

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:
1.y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'
证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x。
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx?(nlnx)'=x^n?n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)?lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能较快捷地求得结果

 

常用导数公式

补充了一些自己推的

1
f(x)=c f'(x)=0

2
f(x)=mx[sup]n[/sup] f'(x)=mnx[sup]n-1[/sup]

3
f(x)=sin x f'(x)=cos x

4
f(x)=cos x f'(x)=-sin x

5
f(x)=a[sup]x[/sup] f'(x)=a[sup]x[/sup] ln a

6
f(x)=e[sup]x[/sup] f'(x)=e[sup]x[/sup]

7
f(x)=log a[sup]x[/sup] f'(x)=(a[sup]x[/sup] ln a)[sup]-1[/sup]

8
f(x)=ln x f'(x)=x[sup]-1[/sup]

9
f(x)=x[sup]1/2[/sup] f'(x)=(2√x)[sup]-1[/sup]

10
f(x)=x[sup]-1[/sup] f'(x)=-(x[sup]2[/sup])[sup]-1[/sup]

11
f(x)=tan x f'(x)=(cos[sup]2[/sup] x)[sup]-1[/sup]

12
f(x)=cot x f'(x)=-(sin[sup]2[/sup] x)[sup]-1[/sup]

轮回 2007-9-7 20:54

导数
[table=98%][tr][td][url=http://baike.baidu.com/pic/4/11831945064139592.jpg][img]http://baike.baidu.com/pic/4/11831945064139592_small.jpg[/img][/url] [b]导数[/b](derivative)亦名微商,由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了 600千米,它的平均速度是60千米/小时,但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置x与时间t的关系为x=f(t),那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t2)/t1-t2],当 t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ,自然就把极限[f(t1)-f(t2)/t1-t2] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度。一般地,假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ,x0 +a)内有定义,当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量 Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数(或变化率)。若函数f在区间I 的每一点都可导,便得到一个以I为定义域的新函数,记作 f′,称之为f的导函数,简称为导数。函数y=f(x)在x0点的导数f′(x0)的几何意义:表示曲线l 在P0[x0,f(x0)] 点的切线斜率。
   
导数是微积分中的重要概念。导数定义为,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
   
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

[b]求导数的方法[/b]
(1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:
     ① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
     ② 求平均变化率
     ③ 取极限,得导数。
(2)几种常见函数的导数公式:
     ① C'=0(C为常数);
     ② (xn)'=nxn-1 (n∈Q);
     ③ (sinx)'=cosx;
     ④ (cosx)'=-sinx;
     ⑤ (ex)'=ex;
     ⑥ (ax)'=axlna
    
(3)导数的四则运算法则:
     ①(u±v)'=u'±v'
     ②(uv)'=u'v+uv'
   
(4)复合函数的导数
  复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。 大于0,原导数单调增;当导数小于0,原导数单调减
求最值一般用求导方法,且强烈建议列表

在一元函数中,我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的"变化率"。然而,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多.在xOy平面内,当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时,函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的,因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。
   在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率
偏导数的定义
  
设有二元函数z=f(x,y),点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x,相应地函数
z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)
                      △xz=f(x0+△x)-f(x0,y0).
   如果△xz与△x之比当△x→0时的极限
                      常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚存在,
   那末此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数

                      记作:f'x(x0,y0)或常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚
  关于对x的偏导数的问题
  
函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数,实际上就是把y固定在y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数
   同样,把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限
                      常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚存在,
   那末此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.
                      记作f'y(x0,y0)或常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚
偏导数的求法

   当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时,
   我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导,
   那末称函数f(x,y)在域D可导
   此时,对应于域D的每一点(x,y),必有一个对x(对y)的偏导数,因而在域D确定了一个新的二元函数,
   称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数
  
例题:求z=x2siny的偏导数
  
解答:
把y看作常量对x求导数,得常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚
        把x看作常量对y求导数,得常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚
  
注意:
二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。
  
例题:
常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚的偏导数。
  
解答:
我们根据二元函数的偏导数的求法来做。
        把y和z看成常量对x求导,得常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚.
       
把x和z看成常量对y求导,得常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚.
        把x和y看成常量对z求导,得常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚.
高阶偏导数

   如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导,
   那末这两个偏导函数的偏导数称为
z=f(x,y)的二阶偏导数
   二元函数的二阶偏导数有四个:f"xx,f"xy,f"yx,f"yy.
  
注意:
f"xy与f"yx的区别在于:前者是先对x求偏导,然后将所得的偏导函数再对y求偏导;后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时,求导的结果于求导的先后次序无关
  
例题:
求函数常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚的二阶偏导数.
  
解答:
常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚常用微积分公式 - 青山妩媚 - 青山妩媚

  评论这张
 
阅读(16184)| 评论(1)

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2018